Гипотеза трехзначности

___Главный специалист по философии науки в промышленности нашей компании “ТехноИнжениринг.РФ” пишет:
___В классической логике суждение существования можно получить из отрицания (приведение к противоречию) универсального суждения. Это одна из формул, которые лежат в основе умозаключений по принципу исключенного третьего. “К примеру, – пишут М.Барзин и А.Эрреда, – либо всякое число обладает некоторым свойством a, либо это ложно, и существует некое число, которое этим свойством не обладает. Ибо достаточно доказать, что первая из этих гипотез приводит к противоречию, чтобы установить существование числа, которое не обладает свойствомa. Г-н Брауэр, не допуская доказательств существования без построения, приходит к заключению, что ложность первого суждения не влечет с принудительностью (forcément) истинности второго; из чего следует, что второе суждение должно иметь иное истинностное значение, чем истина или ложь. Таким образом, необходимо, чтобы имело место некое третье состояние суждений и чтобы по крайней мере одно суждение находилось в этом третьем состоянии, т.е. было бы не истинным и не ложным”. 
___Казалось, из этого отрывка можно было бы заключить, что М.Барзин и А.Эррера признавали для брауэровской логики интерпретацию на трехзначной системе истинностных значений корректной, в чем их неоднократно и упрекали и на что неоднократно указывалось в позднейшей литературе. Однако, справедливости ради, отмечу, что упреки эти неосновательны. Как видно из известной статьи этих авторов, их главная цель – “показать, что, допуская третье значение суждений, невозможно рассуждать, не впадая тотчас же в противоречие”. 
___Гипотеза трехзначности была для М.Барзина и Ф.Эрреры чем-то вроде гипотезы ad hoc, которая должна быть отброшена перед лицом возражений более веских, чем временный характер третьей возможности. Таким абсолютно веским возражением являлась для них, конечно, противоречивость. И поскольку эти авторы констатировали, что брауэровская концепция оснований математики не может обойтись без гипотезы “трех состояний”, они и попытались показать противоречивость этой концепции. 
___В принципе идея “третьего состояния” не оспаривалась никем. Она определялась вполне объективным фактом существования недоказанных и неопровергнутых (неразрешимых или “неустановимых”, как мы сказали бы теперь) суждений, что, вообще говоря, не противоречило интуиционистской идеологии. И для оппонентов интуиционизма вопрос, казалось, состоял лишь в уточнении онтологического статуса этих суждений: принимать ли их как факт относительный, обусловленный несовершенством нашего познания, или рассматривать их как факт абсолютный (“на все время”), не зависящий от прогресса нашего знания. В частности, М.Барзин и А.Эррера только в последнем случае готовы были признать основательность критической позиции Брауэра по отношению к tertium. Но стремление получить заведомо отрицательный результат – опровергнуть математический эмпиризм Брауэра – явно возобладало над строгим анализом вопроса. 
___Таким образом, позитивная работа российских математиков (А.Колмогорова, В.Гливенко и А.Хинчина) состояла вовсе не в критике субъективного идеализма брауэровской школы, как об этом писали, а в первую очередь в защите брауэровского подхода от обвинений в противоречивости. Конечно, такая защита могла состоять просто в том, чтобы указать на ошибки в рассуждениях М.Барзина и А.Эрреры. Но это не была бы защита в духе логики, защита ad contradictoriam. Для последней нужны были более веские основания. 
___Первым, кто усомнился в доказательности аргументов М.Барзина и А.Эрреры, был А.Я.Хинчин. Он не указывает непосредственно на ошибки в их доказательстве, но пользуется косвенным методом опровержения по схеме: “Если В истино, а из А следует не-В, то А ложно”, где под В подразумевается система теорем классической логики высказываний, а под А – совокупность аксиом и правил логики, принятых бельгийскими авторами. Основная идея – “показать, что принимая эти правила (и аксиомы – М.Н.), мы тотчас приходим к совершенно аналогичному противоречию и в классической логике”. При этом под “совершенно аналогичным противоречием” подразумевается вывод формулы, которая, демонстрируя “парадоксальный” характер материальной импликации, не является, конечно, подлинным противоречием в системе аксиом и правил, принятых бельгийскими авторами. Кстати, доказав альтернативу, эти авторы тоже не получили желаемого противоречия, поскольку, вообще говоря, можно указать такую интерпретацию логических связок и третьего значения суждения, при которой эта альтернатива не будет выражать никакого противоречия ни “сама по себе”, ни по отношению к закону исключенного четвертого (quartum non datur), ни по отношению к закону исключенного четвертого (quartum non datur), который приняли эти авторы в качестве постулата своей (“интуиционистской”) логики высказываний. 
___Теперь известно, конечно, что идея “третьего значения”, приемлемая в языке исследователя для выражения фактов, лежащих за пределами математически (интуиционистски) осмысленных “умственных построений”, оказалась неприемлемой для семантической интерпретации брауэровской логики. Но впервые это доказано было В.Гливенко, который для выяснения всех обстоятельств дела пошел прямым путем адекватной формализации брауэровских принципов, избегая каких-либо произвольных допущений. Правда, в своей первой статье он еще далек от полной формализации этих принципов и ограничивается слабым фрагментом минимальной логики. Но и этого фрагмента оказалось достаточно, чтобы показать, что полученное М.Барзиным и А.Эррерой “противоречие ничего не говорит против точки зрения Brouwer’a” и попутно дать формальное доказательство двух метаматически важных теорем: неложностиexclusii tertiiи того, что любое ложное суждение, если оно получено с помощью exclusii tertii, будет ложным и в брауэровской логике. 
___В своей второй работе, расширяя предыдущую систему аксиом, В.И.Гливенко уже полностью аксиоматизирует интуиционистскую логику высказываний, включая ex falso sequitur quodlibet и недостававшие прежде аксиомы полной положительной логики. В этой второй статье В.Гливенко решает метаматическую задачу редукции классической логики высказываний к интуиционистской, то есть, по существу, дает доказательство непротиворечивости классической логики высказываний относительно интуиционистской.
___ 
__________________________________________________________
P.S.
___Уважаемый читатель!!! Уверен, что эта интересная информация будет очень полезна для Вас, избавив от множества проблем в повседневной жизни. В знак благодарности, прошу Вас поощрить скромного автора незначительной суммой денег.
___Конечно, Вы можете этого и не делать. В то же время подмечено, что в жизни есть баланс. Если сделать кому-то добро, то оно вернётся к Вам через определённое время в несколько большем количестве. А если сделать человеку зло, то оно возвращается в очень скором времени и значительно большим.
___Предлагаю сделать свой посильный вклад (сумму можно менять):
___
____________________________________________
Запись опубликована в рубрике Философия науки в промышленности с метками . Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *