___Главный специалист по философии науки в промышленности нашей компании “ТехноИнжениринг.РФ” пишет:
___По мнению Г.Шольца, уже расселовская философия пробила брешь в представлении о единственности логики, явилась, так сказать, первой теорией, экспериментирующей над полем логических понятий. И все же брауэровская (интуиционистская) критика оказалась столь неожиданной и революционной, что в течение первых десятилетий становления голландской школы “интуиционистам приходилось отвоевывать себе место “под математическим солнцем” в острых спорах с представителями других направлений в основаниях математики”. К слову сказать, брауэровский интуиционизм, с трудом приобретавший сторонников на западе Европы, нашел скорое признание на востоке, у математиков и логиков России. И это неудивительно, поскольку многие из них входили в то время в Московскую математическую школу, возглавляемую Н.Н.Лузиным, – выдающимся представителем “полуинтуиционистской” концепции в основаниях математики, известной также под именем эффективизма. И если впоследствии российские сторонники интуиционистских идей отступились от идеалов своей молодости, то, думается, это произошло потому, что в эпоху 30-40-х гг. “красная профессура” должна была называться красной не только “по определению”.
___Одной из первых статей, конституировавших логику, согласованную с брауэровскими (интуиционистскими) методами (правилами) рассуждений, стала статья А.Н.Колмогорова “О принципе tertium non datur”. Дело в том, что отказываясь от tertium, признавая незаконность его применения в области трансфинитных умозаключений, Брауэр не уточнял, какие именно принципы логики он допускает. А это был нетривиальный вопрос, поскольку практика логических рассуждений так или иначе сохранялась, а исключение tertiumиз числа законов (теорем) с необходимостью требовало пересмотра всего запаса теорем (и соответственно аксиоматики) классической (традиционной) логики. Такая работа и была предпринята в статье А.Н.Колмогорова, который, однако, подчеркивал, что только в логике математических рассуждений “возникает сомнение в безусловной применимости принципа tertium non datur”, поскольку только в математике мы встречаемся с необходимостью трансфинитных суждений. А.Колмогоров (как и Брауэр) полагал, что tertiumможет быть принят в ограниченной области суждений, называемых финитными, но он указывал на трудности выявления “границ области финитных суждений”. Проанализировав классическую аксиоматику Гильберта с точки зрения интуиционистских требований к интуитивной ясности суждений (и усиливая этот критерий по отношению к суждениям, включающим отрицание), А.Колмогоров предложил законченный фрагмент интуиционистской логики в форме аксиоматического импликативного минимального исчисления высказываний и предикатов.
___Правда, статья А.Колмогорова имела еще и другую, как бы обратную методологическую цель: оправдать “незаконное” применение tertium non datur в области трансфинитных умозаключений с точки зрения понятий “псевдосуществования” и “псевдоистинности” – понятий более слабых, чем классические понятия об истинности и существовании. И на этом пути А.Н.Колмогоров предвосхитил более поздние результаты В.И.Гливенко (1929) и К.Геделя (1932), касающиеся отношений между классической и интуиционистской логикой, классической и интуиционистской математикой. Но его основная идейная установка по вопросу о допустимых аксиомах логики была в этот период критичнее интуиционистской: он отказывается не только от классических аксиом отрицания, но и от интуиционистски приемлемой ex falso sequitur quodlibet. Статья А.Н.Колмогорова появилась за год до начала дискуссии об основах брауэровской логики между Р.Вавром, П.Леви, Э.Борелем и М.Барзиным и А.Эррерой на страницах Revue de Métaphysique et de Morale.Едва намечавшиеся контуры новой логики окрестили тогда эмпирической математической логикой.
___Сочетание понятий “логика”, “математика” и “эмпиризм” было не случайным. И сказывалось здесь не только влияние философской традиции, сколько начавшийся уже пересмотр концепции существования в математике в связи с обострившейся полемикой вокруг логических основ канторовской теории множеств. Помимо интуитивной очевидности доказательств существования и соответствующих им логических принципов (трансфинитные принципы вроде tertiumзаведомо отвергались) интуиционизм выдвинул такие условия на средства доказательства, при которых математические теоремы должны рассматриваться как чисто эмпирические факты определенным образом осуществленных построений, т.е. как выражения чисто эмпирических (правда, в рамках абстракции потенциальной осуществимости) результатов. Именно в связи с этими условиями интуиционистская концепция запрещала, вообще говоря, заключать о существовании математических объектов из доказательств непротиворечивости (позиция классиков в этом вопросе другая: непротиворечивость влечет выполнимость, или – всякая непротиворечивая теория имеет модель). Согласно Брауэру, непротиворечивость говорит только о возможности осуществления, но существование – это уже осуществленная возможность (факт). Вот почему ответственность за истинность утверждений (суждений) о существовании объектов с определенными свойствами должна нести не логика, а соответствующая этим объектам теория. Аристотелевское понимание “истины” и “лжи” здесь, вообще говоря, не годится, поскольку конструктивная истинность совпадает с доказуемостью (с осуществленным построением), а ложность – с опровержимостью (с осуществленным приведением к абсурду), понятием заведомо более сильным, чем ложь: абсурдность имплицирует ложь, но ложь не всегда имплицирует абсурдность. В результате вместо duplex negatio affirmat в брауэровской логике появляются три независимых утверждения о состоянии суждений: истинность суждения, абсурдность суждения и абсурдность абсурдности суждения. Хотя, как отметил Ролэн Вавр, это не является ни намеком, ни указанием на закон исключенного четвертого (quartum non datur), все же тот факт, что абсурдность абсурдности суждения не влечет, вообще говоря, ни его истинности, ни его абсурдности, порождал подозрение в трехзначности брауэровской логики, о чем в 1927 г. и заявили бельгийские математики М.Барзин и А.Эррера. Правда, основанием для этой гипотезы им послужило другое обстоятельство, на которое ссылаются эти авторы.
___
__________________________________________________________
P.S.
___Уважаемый читатель!!! Уверен, что эта интересная информация будет очень полезна для Вас, избавив от множества проблем в повседневной жизни. В знак благодарности, прошу Вас поощрить скромного автора незначительной суммой денег.
___Конечно, Вы можете этого и не делать. В то же время подмечено, что в жизни есть баланс. Если сделать кому-то добро, то оно вернётся к Вам через определённое время в несколько большем количестве. А если сделать человеку зло, то оно возвращается в очень скором времени и значительно большим.
___Предлагаю сделать свой посильный вклад (сумму можно менять):
___
____________________________________________
